แหล่งเรียนรู้ที่2 ระบบเลขฐานและตรรกศาสตร์

จำนวนหลัก (Digit)

เลขฐานสอง        

0

1

เลขฐานแปด        

0

1

2

3

4

5

6

7

เลขฐานสิบ          

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

เลขฐานสิบหก    

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

2. ระบบเลขฐานสิบ (Decimal Number System)

    ระบบเลขฐานสิบ เป็นระบบเลขที่ใช้กันในชีวิตประจำวัน ไม่ว่าจะนำไปใช้คำนวณประเภทใด โดยจะมีสัญลักษณ์ที่ใช้แทนตัวเลขต่างๆ ของเลขฐานสิบ (Symbol) จำนวน 10 ตัว ตัวเลขหรือที่เรียกว่า Digit ที่ใช้แทนระบบเลขฐานสิบ ได้แก่ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

    ตัวเลขแต่ละตัวจะมีค่าประจำตัว โดยกำหนดให้ค่าที่น้อยที่สุด คือ 0 (ศูนย์) และเพิ่มค่าทีละหนึ่ง จนครบจำนวน 10 ตัว ดังนั้นค่ามากที่สุด คือ 9 การนำตัวเลขเหล่านี้ มารวมกลุ่มกัน ทำให้เกิดความหมายเป็น "ค่า" นั้น อาศัยวิธีการกำหนด "หลัก" ของตัวเลข (Position Notation)กล่าวคือ ค่าของตัวเลขจำนวนหนึ่ง พิจารณาได้จากสองสิ่งคือ

- ค่าประจำตัวของตัวเลขแต่ละตัว

- ค่าหลักในตำแหน่งที่ตัวเลขนั้นปรากฎอยู่

ในระบบที่ว่าด้วยตำแหน่งของตัวเลข ตำแหน่งที่อยู่ทางขวาสุด จะเป็นหลักที่มีค่าน้อยที่สุด เรียกว่า Least Sinificant Digit (LSD) และตัวเลขที่อยู่ในหลักซ้ายสุดจะมีค่ามากที่สุด เรียกว่า Most Sinificant Digit (MSD)

ตัวอย่าง

จำนวน 1,897

Most Sinificant Digit (MSD)

Least Sinificant Digit (LSD)

1

8

9

7

นิยาม ค่าหลักของตัวเลขใดๆ คือ ค่าของฐานยกกำลังด้วยค่าประจำตำแหน่งของแต่ละหลัก โดยกำหนดให้ค่าประจำตำแหน่งของหลักของLSD มีค่าเป็น 0

ในระบบเลขฐานสิบ จะมีสัญลักษณ์อยู่ 10 อย่าง คือ 0 - 9 จำนวนขนาดของเลขฐานสิบ สามารถอธิบายได้ โดยใช้ตำแหน่งน้ำหนักของแต่ละหลัก (Postional Weight) โดยพิจารณาจากเลข ดังต่อไปนี้

ค่าตัวเลข 4,897 สามารถขยายได้ดังนี้

4,897

= 4000 + 800 + 90 + 7

= (4 x 103) + (8 x 102) + (9 x 101) + (7 x 100)

จะเห็นว่าน้ำหนักตามตำแหน่ง ของตัวเลขต่างๆ สามารถขยายตามระบบจำนวนได้ และถูกแทนที่ด้วยสมการ ดังต่อไปนี้

N = dnRn + ... + d3R3 + d2R2 + D1R1 + D0R0

เมื่อ

N    คือ ค่าของจำนวนฐานสิบที่ต้องการ

dn   คือ ตัวเลขที่อยู่ในตำแหน่งต่างๆ

R    คือ ฐานของจำนวนตัวเลขนั้นๆ

n    คือ ค่ายกกำลังของฐานตามตำแหน่งต่างๆ

เลขที่เป็นเศษส่วน หรือจำนวนผสมนั้น ก็สามารถจะเขียนในรูป Positional Notation ได้เช่นกัน โดยตัวเลขแต่ละหลักที่อยู่ในตำแหน่งหลังจุดทศนิยมนั้นกำลังของหลักจะมีค่าเป็นลบ โดนเริ่มจากลบ 1 เป็นต้นไป นับจากน้อยไปหามาก

ดังนั้นในระบบเลขฐานสิบ หลักแรกหลังจุดทศนิยมจะมีค่าเท่ากับ เลขจำนวนนั้นคูณด้วย 10-1 ตัวที่สองจะเป็น 10-2 ไปเรื่อยๆ เช่น

123.456 =1 x 102 + 2 x 101 + 3 x 100+4 x 10-1+5 x 10-2+6 x 10-3

กฎการแทนตัวเลขนั้น สามารถนำไปใช้กับระบบตัวเลขทั่วๆ ไปได้ โดยไม่คำนึงว่า เลขนั้นจะเป็นฐานอะไร

3. ระบบเลขฐานสอง

    ระบบเลขฐานสอง มีสัญลักษณ์ที่ใช้เพียงสองตัว คือ 0 และ 1 ถ้าเปรียบเทียบเลขฐานสอง กับเลขฐานสิบแล้ว ค่าของหลักที่ถัดจากหลักที่น้อยที่สุด (LSD) ขึ้นไป จะมีค่าเท่ากับ ฐานสองยกกำลังหมายเลขหลัก แทนที่จะเป็น 10 ยกกำลัง ดังนี้

เลขฐานสิบ                                                          เลขฐานสอง                         

100         1              หน่วย                    20           1              หนึ่ง

101         10           สิบ                         21           2              สอง

102         100         ร้อย                        22           4              สี่

103         1000       พัน                        23           8              แปด

104         10000    หมื่น                     24           16           สิบหก

105         100000  แสน                      25           32           สามสิยสอง

ระบบเลขฐานสองเกิดจากการใช้ตัวเลขเพียง 2 ตัว คือ 0 และ 1 ดังนั้น สมการคือ

N = dnRn + ... + d3R3 + d2R2 + D1R1 + D0R0

เมื่อ d คือค่า 0 หรือ 1

เช่น 1101 = (1 x 23) + (1 x 22) + (0 x 21) + (1 x 20)

เพื่อตัดปัญหายุ่งยาก ในการแทนค่าของเลขระบบต่างๆ เรานิยมเขียน ตัวเลขอยู่ในวงเล็บ และเขียนค่าของฐานนั้น อยู่นอกวงเล็บ

เช่น (101101)2 = (45)10

สำหรับเศษส่วน จะเขียนค่าของเศษส่วนอยู่หลังจุด (Binary Point) ยกกำลังเป็นลบ เพิ่มขึ้นตามลำดับ ดังตัวอย่าง

(0.1011)2 = (1 x 2-1) + (0 x 2-2) + (1 x 2-3) + (1 x 2-4)

4. การแปลงเลขฐานสองเป็นเลขฐานสิบ

    การแปลงเลขฐานสองเป็นเลขฐานสิบ มีหลายวิธี แต่ที่จะแนะนำคือ การกระจายค่าประจำหลัก จากนั้นนำมาบวกรวมกันอีกครั้ง ผลลัพธ์ที่ได้จะเท่ากับค่าในเลขฐานสิบ

ตัวอย่างที่1  (110111)2 มีค่าเท่ากับเท่าไรในระบบเลขฐานสิบ

วิธีทำ

N = (1 x 25) + (1 x 24) + (0 x 23) + (1 x 22) + (1 x 21) + (1 x 20)

   = 32 + 16 + 0 +4 + 2 + 1

1101112 = 5510

การแปลงเลขฐานสอง เป็นเลขฐานสิบ วิธีที่สอง คือ Dibble Dobble Method โดยการนำเอาเลขหลักซ้ายสุด มาวางไว้ แล้วคูณด้วย 2 จากนั้นบวกด้วยเลขบิทที่อยู่ ทางขวามือ จากนั้นนำผลลัพธ์ มาคูณด้วย 2 บอกด้วยเลขบิทต่อไป ดังนี้

เช่น ต้องการแปลง (110111)2 เป็นเลขฐานสิบ

บิทซ้ายสุด คือ 1

คูณด้วย 2 และบวกบิทถัดไป (2 x 1) + 1 = 3

คูณด้วย 2 และบวกบิทถัดไป (2 x 3) + 0 = 6

คูณด้วย 2 และบวกบิทถัดไป (2 x 6) + 1 = 13

คูณด้วย 2 และบวกบิทถัดไป (2 x 13) + 1 = 27

คูณด้วย 2 และบวกบิทถัดไป (2 x 27) + 1 = 55

ดังนั้น 1101112 = 5510

5. การแปลงเลขฐานสิบเป็นฐานสอง

    การแปลงเลขฐานสิบเป็นเลขฐานสองก็มีหลายวิธี แต่ที่จะแนะนำคือ การหารด้วย 2 แล้วจดค่าเศษจากการหารไว้ จนกระทั่งหารไม่ได้อีกแล้ว หรือการหารสั้น จากนั้นนำเศษจากการหารแต่ละครั้ง มาไล่ลำดับจากล่างขึ้นไปหาค่าบนสุด ผลลัพธ์ที่ได้จะเท่ากับค่าในเลขฐานสอง

ตัวอย่างที่ 2 (29)10  มีค่าเท่ากับเท่าไรในระบบเลขฐานสอง

การแปลงเลขหลังทศนิยม (เศษส่วน) ฐานสิบ (Fractional Decimal Numbers) ให้เป็นฐานสอง

การเปลี่ยนเลขหลังทศนิยมฐานสิบ ให้เป็นฐานสอง จะใช้วิธีการนำค่าเลขหลังทศนิยมตั้ง แล้วคูณด้วยสอง จากนั้นนำผลลัพธ์ที่ได้เป็นตัวตั้งในการคูณครั้งต่อไป จนกว่าค่าผลลัพธ์ส่วนที่เป็น เลขหลังทศนิยมเท่ากับ .00 กรณีที่คูณแล้วไม่ลงตัวเท่ากับ .00 ก็ให้คูณจนได้ค่าที่ต้องการ สุดท้ายนำค่าตัวเลขก่อนทศนิยม จากผลลัพธ์แต่ละครั้ง มาเขียนเรียงต่อกัน ก็จะได้ค่าฐานสองที่ต้องการ ดังตัวอย่าง

ตัวอย่าง ต้องการแปลงเลข (0.65625)10 เป็นเลขฐานสอง

พิจารณาทีละจุด

นำ 0.65625 คูณด้วย 2 ได้ค่าเท่ากับ 1.31250

ค่า 1 (เลขก่อนทศนิยม) จะเป็นค่าหลักแรกของค่าเลขฐานสอง

นำ .31250 (เลขหลังทศนิยม) ไปเป็นตัวตั้งในการคูณครั้งถัดไป

นำ 0.31250 คูณด้วย 2 ได้ค่าเท่ากับ 0.62500

ค่า 0 (เลขก่อนทศนิยม) จะเป็นค่าหลักที่สองของค่าเลขฐานสอง

นำ .62500 (เลขหลังทศนิยม) ไปเป็นตัวตั้งในการคูณครั้งถัดไป

นำ 0.62500 คูณด้วย 2 ได้ค่าเท่ากับ 1.25000

ค่า 1 (เลขก่อนทศนิยม) จะเป็นค่าหลักที่สามของค่าเลขฐานสอง

นำ .25000 (เลขหลังทศนิยม) ไปเป็นตัวตั้งในการคูณครั้งถัดไป

นำ 0.25000 คูณด้วย 2 ได้ค่าเท่ากับ 0.50000

ค่า 0 (เลขก่อนทศนิยม) จะเป็นค่าหลักที่สี่ของค่าเลขฐานสอง

นำ .50000 (เลขหลังทศนิยม) ไปเป็นตัวตั้งในการคูณครั้งถัดไป

นำ 0.5000 คูณด้วย 2 ได้ค่าเท่ากับ 1.00000

ค่า 1 (เลขก่อนทศนิยม) จะเป็นค่าหลักที่ห้าของค่าเลขฐานสอง

เนื่องจากเลขหลังทศนิยมเท่ากับ .00000 จึงไม่ต้องคูณต่อ

นำเลขก่อนทศนิยมของการคูณแต่ละครั้ง มาเขียนเรียงกัน จะได้ค่าเท่ากับ 10101

ดังนั้นเลขทศนิยมฐานสิบ 0.65625 จะเท่ากับ 0.10101 ในฐานสอง

           

                                 ตรรกศาสตร์

 ตรรกศาสตร์  

ความหมายของศัพท์ตรรกศาสตร์ 
คำว่า “ตรรกศาสตร์” ได้มาจากศัพท์ภาษาสันสฤตสองศัพท์ คือ ตรฺรก และศาสตฺร ตรรก หมายถึง การตรึกตรอง ความคิด ความนึกคิด และคำว่า ศาสตฺร หมายถึง วิชา ตำรา รวมกันเข้าเป็น“ตรรกศาสตร์” หมายถึง วิชาว่าด้วยความนึกคิดอย่างเป็นระบบ ปราชญ์ทั่วไปจึงมีความเห็นร่วมกันว่า ตรรกศาสตร์ คือ วิชาว่าด้วย การใช้กฎเกณฑ์
การใช้เหตุผล
วิชาตรรกศาสตร์นั้นมีนักปราชญ์ทางตรรกศาสตร์ได้นิยามความหมายไว้มากมาย นักปราชญ์เหล่านั้น คือ 
1.พจนานุกรมศัพท์ปรัชญาอังกฤษ – ไทย ฉบับราชบัณฑิตยสถาน นิยามความหมายว่า“ตรรกศาสตร์ คือ ปรัชญาสาขาที่ว่าด้วยการวิเคราะห์และตัดสินความสมเหตุสมผลในการอ้างเหตุผล” 
2.กีรติ บุญเจือ นิยามความหมายว่า “ตรรกวิทยา คือ วิชาที่ว่าด้วยกฎเกณฑ์การใช้เหตุผล”
3.”Wilfrid Hodges” นิยามความหมายว่า “ตรรกศาสตร์ คือ การศึกษาระบบข้อเท็จจริงให้ตรงกับความเชื่อ” 
ประพจน์ (Proposition)
     ประพจน์ คือ ประโยคที่เป็นจริงหรือเป็นเท็จเพียงอย่างเดียวเท่านั้น 

ประโยคเหล่านี้อาจจะอยู่ในรูปประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธก็ได้ 
      
ประโยคต่อไปนี้เป็นประพจน์ 
จังหวัดชลบุรีอยู่ทางภาคตะวันออกของไทย ( จริง ) 
5 × 2 = 2 + 5 ( เท็จ ) 
ตัวอย่างต่อไปนี้ไม่เป็นประพจน์ 
โธ่คุณ ( อุทาน ) 

กรุณาปิดประตูด้วยครับ ( ขอร้อง ) 

ท่านเรียนวิชาตรรกวิทยาเพื่ออะไร ( คำถาม ) 
      
ประโยคเปิด (Open sentence)
บทนิยาม ประโยคเปิดคือ ประโยคบอกเล่า ซึ่งประกอบด้วยตัวแปรหนึ่งหรือมากกว่าโดยไม่เป็นประพจน์ แต่จะเป็นประพจน์ได้เมื่อแทนตัวแปรด้วยสมาชิกเอกภพสัมพัทธ์ตามที่กำหนดให้ นั่นคือเมื่อแทนตัวแปรแล้วจะสามารถบอกค่าความจริง
ประโยคเปิด เช่น
1.เขาเป็นนักบาสเกตบอลทีมชาติไทย
2. x + 5 =15
3. y < - 6
ประโยคที่ไม่ใช่ประโยคเปิด เช่น
1.10 เป็นคำตอบของสมการ X-1=7
2.โลกหมุนรอบตัวเอง
3.จงหาค่า X จากสมการ 2x+1=8
ตัวเชื่อม (connective)


1. ตัวเชื่อมประพจน์ ” และ ” ( conjunetion ) ใช้สัญลักษณ์แทน Ùและเขียนแทนด้วย P Ù Qแต่ละประพจน์มีค่าความจริง(truth value) ได้ 2 อย่างเท่านั้น คือ จริง(True) หรือ เท็จ(False) ถ้าทั้ง P และ Qเป็นจริงจะได้ว่า PÙQ เป็นจริง กรณีอื่นๆ P Ù Q เป็นเท็จ เราให้นิยามค่าความจริงP Ù Q 
โดยตารางแสดงค่าความจริง (truth table) ดั้งนี้

P	Q	P Ù Q
T T F F	T F T F	T F F F

ตัวอย่าง 5+1 = 6 Ù 2 น้อยกว่า 3 (จริง) 
 5+1 = 6 Ù 2 มากกว่า 3 (เท็จ)
5+1 = 1 Ù 2 น้อยกว่า 3 (เท็จ)
 5+1 = 1 Ù 2 มากกว่า 3 (เท็จ)

2. ตัวเชื่อมประพจน์ ” หรือ ” ( Disjunction ) ใช้สัญลักษณ์แทน V และเขียนแทนด้วย P V Q และเมื่อ P V Q

จะเป็นเท็จ ในกรณีที่ทั้ง P และ Q เป็นเท็จเท่านั้น กรณีอื่น P V Q เป็นจริง เรา 

ให้นิยามค่าความจริงของ P V Q

ตัวอย่างตารางค่าความจริง ดังนี้

P	Q	P V Q
T T F F	T F T F	T T T F

ตัวอย่าง 5 + 1 = 6 V 2 น้อยกว่า 3 (จริง)

              5 + 1 = 6 V 2 มากกว่า 3 (จริง)
              5 + 1 = 1V 2 น้อยกว่า 3 (จริง)  
              5 + 1 = 1V 2 มากกว่า 3 (เท็จ)

3. ตัวเชื่อมประพจน์ “ ถ้า….แล้ว” Conditional) ใช้สัญลักษณ์แทน ® และเขียนแทนด้วยP®Q

นิยามค่าความจริงของ P®Q โดยแสดงตารางค่าความจริงดังนี้

P	Q	P®Q
T T F F	T F T F	T F T T

ตัวอย่าง 1 < 2 ® 2 < 3 (จริง) 1 < 2 ® 3 < 2 (เท็จ) 2 < 1 ® 2 < 3 (จริง) 
2 < 1 ® 3 < 2 (จริง)

4. ตัวเชื่อมประพจน์ “ก็ต่อเมื่อ” (Biconditional) ใช้สัญลักษณ์แทน « และเขียนแทนด้วย P«Q 

นั้นคือ P«Q จะเป็นจริงก็ต่อเมือ ทั้ง P และ Q เป็นจริงพร้อมกันหรือทั้ง P และ Q เป็นเท็จพร้อมกันตารางแสดงค่าความจริงของ P«Q

P	Q	P«Q
T T F F	T F T F	T F F T

ตัวอย่าง 1 < 2 « 2 < 3 (จริง) 
1 < 2 « 3 < 2 (เท็จ) 
2 < 1 « 2 < 3 (จริง) 
2 < 1 « 3 < 2 (เท็จ)

5. นิเสธ (Negation) ใช้สัญลักษณ์แทน ~ เขียนแทนนิเสธของ Pด้วย ~P ถ้า P เป็นประพจน์นิเสธของประพจน์ P คือประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงข้ามกัน P

ตารางแสดงค่าความจริงดั้งนี้

P	~P
T F	F T

ตัวอย่าง ถ้า p แทนประโยคว่า "วันนี้เป็นวัน เสาร์" นิเสธของ p หรือ ~p คือประโยคที่ว่า "วันนี้ไม่เป็นวันเสาร์"

สัจนิรันดร์ (Tautology) และความขัดแย้ง (Contradiction)

1. สัจนิรันดร์ (Tautology) คือ รูปแบบประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงเสมอโดยไม่ขึ้นอยู่กับค่าความจริงของ ตัวแปรของแต่ละประพจน์ที่มีรูปแบบเป็นสัจนิรันดร์ เรียกว่า ประพจน์สัจนิรันดร์ (Tautology statement)ตัวอย่างที่ 1 P® PvQเป็นสัจนิรันดร์ เราสามารถพิสูจน์ได้หลายวิธี

P	Q	P v Q	P® PvQ
T         T         F         F	T T T F	T T T F	T T T T

จากตารางแสดงค่าความจริงไม่ว่า P และ Q จะเป็นจริงหรือเท็จก็ตาม ประพจน์ P® PvQ เป็นจริงเสมอ ดังนั้นประพจน์นี้เป็น สัจนิรันดร์
2.ความขัดแย้ง (Contradiction) คือ รูปแบบประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จเสมอโดยไม่ขึ้นอยู่กับค่าความจริงของตัวแปรของแต่ละประพจน์ย่อยประพจน์ที่มีรูปแบบ เป็นความขัดแย้ง เรียกว่า ประพจน์ความขัดแย้ง (Contradicithon statement)

ตัวอย่าง P ^ ~P เป็น ความขัดแย้ง ตารางแสดงค่าความจริง 

p	~P	P ^ ~P
T F	F T	F F

      







P ^ ~P มีค่าเป็นเท็จ สำหรับทุกๆ ค่าความจริงของ P 
ดังนั้น P ^ ~P จึงเป็นความขัดแย้ง (Contradicithon )